Question

如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点E，交⊙O于点D，OF⊥AC于点F．
（1）证明：△ABC∽△DBE；
（2）若∠CAB=30°，AF=

3

，用扇形OAC围成一个圆锥，求该圆锥底面圆的半径．

Answer 1

分析：（1）求出∠ACB=∠DEB，∠A=∠D，根据相似三角形的判定定理求出即可；
（2）利用弧AC的长度得出底面圆的周长，进而得出圆锥的半径．

解答：（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴∠DEB=90°．
∴∠ACB=∠DEB．
又∵∠A=∠D，
∴△ACB∽△DEB．

（2）∵OA=OC，
∴∠ACO=∠CAB=30°．
∴∠AOC=120°．
∵OF⊥AC，
∴∠AFO=90°．
在Rt△AFO中，cos30°=

AF

OA

=

3

AO

，
∴AO=2．
∴

AC

的长为

120

180

•π•2=

4

3

π．
∴圆锥的底面半径=

4 3 π

2π

=

2

3

．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及圆锥的性质和相似三角形的判定，正确区分圆锥与展开图的对应情况是解决问题的关键．