Question

二次函数y=

2

3

x²的图象如图所示，自原点开始依次向上作内角为60度、120度的菱形（其中两个顶点在抛物线上另两个顶点在y轴上，相邻的菱形在y轴上有一个公共点），则第2009个菱形的周长=

 

．

Answer 1

分析：只要求出每个菱形的边长，找出边长之间的关系就可以了，夹角为120°很特殊，菱形由两个等边三角形组成，第一个菱形在y轴上的两个顶点之间距离为其边长，同样第二个菱形边长等于第二个菱形在y轴上的两个顶点之间的距离，以此类推，只要求出各个菱形的边长就可以看出关系．

解答：解：设第一个菱形边长为b，
则第一个菱形在x轴正向与函数y=

2

3

x²交点为（

3

2

b，

b

2

）（因为其边长与x轴夹角为30°）
代入y=

2

3

x²
得b=1；
设第二个菱形边长为c，则其边长与函数交点为（

3

2

c，

1

2

c+1）代入函数表达式得c=2，
同理得第三个菱形边长为3，第n个菱形边长为n，故第2009个菱形边长为2009
∴其周长为：2009×4=8036．
故答案为：8036．

点评：此题主要考查二次函数性质和坐标表示以及菱形的性质．