Question

在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，并且∠MDN=90°．如果BM²+CN²=DM²+DN²，求证：AD²=

1

4

（AB²+AC²）．

Answer 1

分析：添加AC的平行线，将BC的以D为中点的性质传递给EN，即ED=DN，得△BED≌△CND，则BE=NC；再由中垂线的性质得EM=MN，所以BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，可得△BEM为直角三角形，即可求证．

解答：证明：如图，过点B作AC的平行线交ND的延长线于E，连ME．
∵BD=DC，
∴ED=DN．
在△BED与△CND中，
∵

BD=DC ∠BDE=∠CDN ED=DN

∴△BED≌△CND（SAS）．
∴BE=NC．
∵∠MDN=90°，
∴MD为EN的中垂线．
∴EM=MN．
∴BM²+BE²=BM²+NC²=MD²+DN²=MN²=EM²，
∴△BEM为直角三角形，∠MBE=90°．
∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90°．
∴∠BAC=90°．
∴AD²=(

1

2

BC)2=

1

4

（AB²+AC²）．

点评：此题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、三角形全等的判定，作辅助线是关键．