Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从点A开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s的速度运动，P、Q两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t，求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相离、相交？

Answer 1

【答案】分析：（1）若PQCD为平行四边形，则需QC=PD，即3t=24-t，得t=6秒；同理只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，如图，过P、D分别作BC的垂线，交BC于E、F点，则EF=PD，QE=FC=2，即3t-（24-t）=4，解得t=7秒，问题得解．
（2）因为点P、Q分别在线段AD和BC上的运动，可以统一到直线PQ的运动中，要探求时间t对直线PQ与⊙O位置关系的影响，可先求出t为何值时，直线PQ与⊙O相切这一整个运动过程中的一瞬，再结合PQ的初始与终了位置一起加以考虑，设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，如图因为，AB=8，AP=t，BQ=26-3t，所以，PQ=26-2t，因而，过p做PH⊥BC，得HQ=26-4t，于是由勾股定理，可的关于t的一元二次方程，则t可求．问题得解．
解答：解：（1）因为AD∥BC，
所以，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，
此时有，3t=24-t，
解得t=6，
所以t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形．
又由题意得，只要PQ=CD，PD≠QC，四边形PQCD为等腰梯形，
过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F两点，
则由等腰梯形的性质可知，EF=PD，QE=FC=2，
所以3t-（24-t）=4，
解得t=7秒所以当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形．

（2）设运动t秒时，直线PQ与⊙O相切于点G，过P作PH⊥BC于点H，
则PH=AB=8，BH=AP，
可得HQ=26-3t-t=26-4t，
由切线长定理得，AP=PG，QG=BQ，
则PQ=PG+QG=AP+BQ=t+26-3t=26-2t
由勾股定理得：PQ²=PH²+HQ²，即 （26-2t）²=8²+（26-4t）²
化简整理得 3t²-26t+16=0，
解得t₁=或 t₂=8，
所以，当t₁=或 t₂=8时直线PQ与⊙O相切．
因为t=0秒时，直线PQ与⊙O相交，
当t=秒时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D点，但也停止运动，直线PQ也与⊙O相交，
所以可得以下结论：
当t₁=或 t₂=8秒时，直线PQ与⊙O相切；
当0≤t＜或8＜t≤（单位秒）时，直线PQ与⊙O相交；
当＜t＜8时，直线PQ与⊙O相离．
点评：此题主要考查了直线与圆的位置关系，若圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，d＞r时，圆和直线相离；d=r时，圆和直线相切；d＜r时，圆和直线相交．