Question

【题目】如图，菱形ABCD，∠D＝60°，△ABC内接于⊙O，⊙O的直径AE交BC于F，DC的延长线交AE的延长线于点G．

（1）求证：DG与⊙O相切；

（2）连接DF，求tan∠FDC的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）连接OC，根据菱形的性质得到△ACD是等边三角形，推出△ACB是⊙O的内接正边三角形，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）作FH⊥DG，垂足为H，设AB＝x，∠DCA＝∠BCA＝60°，得到∠BCG＝60°，解直角三角形即可得到结论．

（1）连接OC，四边形ABCD是菱形，

∴∠B=∠D＝60°，AB=BC=CD=AD，

∴△ACD是等边三角形，△ABC是等边三角形，

∴∠ACD=60°，∠BAC=60°，

∴△ACB是⊙O的内接正三角形，

∵AE 是⊙O的直径，

∴点O为三角形ABC的外心，

∴AF垂直平分BC,

∴∠FAC＝∠OCA=30°，

∴∠ACD+∠OCA＝90°，

∴DG是⊙O的切线；

（2）解：作FH⊥DG，垂足为H，

设AB＝x，∠DCA＝∠BCA＝60°，

∴∠BCG＝60°，∠G=30°，，

∴，

∴，

DH，

∴．