Question

如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，CD=5，则四边形ABCD的面积为

1. A.
   10
2. B.
   8
3. C.
   12
4. D.
   20

Answer 1

A
分析：四边形ABCD图形不规则，根据已知条件，将△ABC绕A点逆时针旋转90°到△ADE的位置，求四边形ABCD的面积问题转化为求梯形ACDE的面积问题；根据全等三角形线段之间的关系，结合勾股定理，可求出梯形上底DE，下底AC，高DF的长，继而求出四边形ABCD的面积．
解答：解：作AE⊥AC，DE⊥AE，两线交于E点，作DF⊥AC，垂足为F点，
∵∠BAD=∠CAE=90°，即∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
∴∠BAC=∠DAE
又∵AB=AD，∠ACB=∠E=90°
∴△ABC≌△ADE（AAS）
∴BC=DE，AC=AE，
设BC=a，则DE=a，DF=AE=AC=4BC=4a，
CF=AC-AF=AC-DE=3a，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
CF²+DF²=CD²，即（3a）²+（4a）²=5²，
解得：a=1，
∴S_{四边形ABCD}=S_梯形ACDE=×（DE+AC）×DF
=×（a+4a）×4a
=10a²
=10．
故选A．
点评：本题考查了旋转的性质及勾股定理的知识，通过旋转法的运用，将求不规则四边形面积问题转化为求梯形的面积，并充分运用了全等三角形及勾股定理在解题中的作用．