Question

已知抛物线y=-x²+2x+3与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，它的顶点是D．
（1）求A、B、C、D各点的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的解析式即可求得A、B、C、D的坐标；
（2）以AB为底，OC为高可求出△ABC的面积；
（3）根据点B、C的坐标求得直线BC的解析式，从而易求对称轴与直线BC的交点F的坐标，所以根据点D的坐标可以求得DF的长度．则
S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△CDF+S_△BDF．

解答：解：（1）抛物线y=-x²+2x+3中，令y=0，则-x²+2x+3=0，
解得x=-1，x=3；
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，得y=3，
∴C（0，3）．
∵点D是抛物线的顶点，
∴D（-

2

2×(-1)

，

4×(-1)×3-22

4×(-1)

），即D（1，4）．
综上所述，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）、D（1，4）；

（2）由（1）知，A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）．则AB=4，OC=3，
故S_△ABC=

1

2

AB•OC=

1

2

×4×3=6；

（3）由（1）知，B（3，0）、C（0，3），则易求直线BC的解析式为y=-x+3．
故当x=1时，y=2，
∴DF=3-2=1．
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABC+S_△CDF+S_△BDF=6+DF•OB=6+1×3=9，即四边形ABCD的面积是9．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，得出各点的坐标是解答本题的突破口，另外注意将不规则图形的面积转化为几个规则图形的面积和进行求解．