Question

 如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，0）、B（6，0）、C（0，），抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过A、B、C三点。

（1）求直线AC的解析式；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若抛物线的顶点为D，在直线AC上是否存一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解（1）设直线AC的解析式为y=kx+b

∵A（-2，0），C（0，-2），∴，∴

∴………………………………………………………………………（2分）

（2）∵A（-2，0），B（6，0），C（0，-2），抛物线y=ax²+bx+c过A、B、C三点

     ∴，∴

     ∴所求抛物线方程为…………（4分）

（3）存在满足条件的点P。

     ∵抛物线方程为，

D

P

     ∴顶点D的坐标为

     要使△BDP的周长最小，只需DP+PB最小，

     延长BC到点B′，使，连接交直线AC于点P

     ∵BC⊥AC，∴，

     ∴DP+BP=DP+最小，则此时△BDP的周长最小，

     ∴点P就是所求的点

     过点B′作⊥AB于点H，∵B（6，0），C（0，）

     ∴在Rt△BOC中，∴BC=4

     ∵OC//，，

     ∴OH=BO=6，，∴……………………………（8分）

     设直线的解析式为y=mx+n，

     ∵D，在直线上，∴ ∴

     ∴………………………………………………………………（9分）

     ∵，∴，∴

     ∴在直线AC上存在点P，使得△BDP的周长最小，此时