Question

如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90^。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,0为AB的中点.
    (1)求证：以AB为直径的⊙D与斜腰CD相切；
    (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的长.

Answer 1

证明：（方法一）
过AB的中点O作OE⊥CD于E.
S_梯形ABCD=(AD+BC) AB=(AD+BC) OA
=2(ADOA+BCOB)
=2(S_⊿OAD +S_⊿OBC)
S_梯形ABCD =S_⊿OBC+ S_⊿OAD+ S_⊿OCD
∴S_⊿OBC+ S_⊿OAD=S_⊿OCD
∴AD·OA+BC·OA=CD·OE
∴(AD+BC) ·OA=CD·OE
又AD+BC=CD  
∴OA=OE,
∴E点在以AB为直径的⊙O上，又OE⊥CD
∴CD是⊙O的切线
即：CD与⊙O相切                    
方法二：
在CD上取中点F，连接OF，有梯形中位线可知OF=(AD+BC)= CD
∴O点在以CD为直径的⊙F上
∴∠1=∠3,∠2=∠4，又OF∥AD∥BC
∴∠5=∠3,∠6=∠4
∴∠1=∠5, ∠2=∠6
在CD上取点E，且DE=DA，则CE=CB
∴⊿OAD≌⊿OED, ⊿OBC≌⊿OEC
∴∠A=∠OED=90°, ∠B=∠OEC=90°
∴OE⊥CD,且OE的长为⊙O的半径，
∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。
由CD为直径的⊙F与AB相切于O，则OD⊥OC.

∴CD=