Question

【题目】如图，在四边形是边长为4的正方形点P为OA边上任意一点（与点不重合），连接CP，过点P作，且，过点M作，交于点联结，设.

（1）当时，点的坐标为（ ， ）

（2）设，求出与的函数关系式，写出函数的定义域。

（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请直接写出不少于4个符合条件的点的坐标（用的式子表示）

Answer 1

【答案】（1）点的坐标为；（2）；（3），

，，

【解析】

（1）过点作，由“”可证，可得，，即可求点坐标；

（2）由（1）可知,设OP=x，则可得M点坐标为（4+x，x），由直线OB解析式可得N（x，x），即可知MN=4，由一组对边平行而且相等的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形，进而可求与的函数关系式；

（3）首先画出符合要求的点的图形，共分三种情况，第一种情况：当为底边时，第二种情况：当M为顶点为腰时，第三种情况：当N为顶点为腰时，然后根据图形特征结合勾股定理求出各种情况点的坐标即可解答．

解：（1）如图，过点作，

，且

，且，

，

点坐标为

故答案为：

（2）由（1）可知

，

点坐标为

四边形是边长为4的正方形，

点

直线的解析式为：

，交于点，

点坐标为

，且

四边形是平行四边形

（3）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，

此时点的坐标为：，，，，，，其中，

理由：当（2）可知，，，轴，所以共分为以下几种请：

第一种情况：当为底边时，作的垂直平分线，与轴的交点为，如图2所示

，

，

第二种情况：如图3所示，

当M为顶点为腰时，以为圆心，的长为半径画弧交轴于点、，连接、，

则，

，

，

，，

，

，

，；

第三种情况，当以N为顶点、为腰时，以为圆心，长为半径画圆弧交轴正半轴于点，

当时，如图4所示，

则，

，

即，．

当时，

则，此时点与点重合，舍去；

当时，如图5，以为圆心，为半径画弧，与轴的交点为，．

的坐标为：，．

，

，

所以，综上所述，，，，，，，使是等腰三角形．