Question

在锐角△ABC中，AB=AC，∠A使关于x的方程x²-sinA•x+sinA-=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设D为BC上的一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，求AB的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用根的判别式求出sinA=，进而得出∠A=60°，再利用AB=AC，求出△ABC的形状．
（2）根据题意可得出∠BDE=∠CDF=30°，再由锐角三角函数关系可得出BD，CD，从而求出BC进而得出AB的长．
解答：解：（1）∵关于x的方程x²-sinA•x+sinA-=0有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=sin²A-4×（sinA-）=0，
则（sinA-）²=0，
故sinA-=0，
即sinA=，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；

（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=，
∴（）²+n²=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=，
∴BD===，
∵cos30°=，
∴CD==2，
∴BC=+2=，
则AB的长为．
点评：此题考查了等边三角形的性质与判定以及一元二次方程根的判别式、锐角三角函数关系等知识，解题的关键是求出BD，CD的长．