题目内容

已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当
AE
AB
=
1
2
时，sinB=
2
2
3
；
当
AE
AB
=
1
3
时，sinB=
3
2
（提示：
3
2
=
2
3
4
）；
当
AE
AB
=
1
4
时，sinB=
4
5
．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当
AE
AB
=
1
5
时，sinB的值等于
 
；
（2）当
AE
AB
=
1
n
时（n是大于1的自然数），请用含n的代数式表示sinB=
 
，并画出图形，写出已知、求证和证明过程．
分析：（1）
AE
AB
的分母加1即是sinB的分母，sinB的分子是2乘以
AE
AB
的分母的算术平方根，根据规律直接写出答案即可；
（2）由已知条件先写出已知和求证，再进行证明：
要想表示出sinB，需证明△AEM∽△ABN，得出
EM
BN
=
AE
AB
=
1
n
，再设EM=k，则BN=nk，作EH∥MN交BC于H，则HN=EM=k．
由勾股定理得EH=2
n
•k，则sinB=
EH
BE
=
2
n
•k
(n+1)k
=
2
n
n+1
．
解答：精英家教网解：（1）
5
3


（2）
2
n
n+1

图形、已知、求证和证明过程如下：
已知：在△ABC中，AB=AC，EF∥BC，⊙O内切于梯形EBCF，点D、N、G、M为切点，
AE
AB
=
1
n
（n是大于1的自然数）
求证：sinB=
2
n
n+1
．
证法一：
连接AO并延长与BC相交
∵⊙O内切于梯形EBCF，AB、AC是⊙O的切线，
∴∠BAO=∠CAO．
∵EF∥BC，AB=AC，
∴AE=AF．
又M、N为切点，
∴OM⊥EF，ON⊥BC，
∴AO⊥EF于M，AO⊥BC于N．
∵EF∥BC，∴EM∥BN．
∴△AEM∽△ABN．
∴
EM
BN
=
AE
AB
=
1
n
．
设EM=k，则BN=nk．
作EH∥MN交BC于H，则HN=EM=k．
∵D、N、M为切点，
∴BD=BN=nk，ED=EM=k．
在△EHB中，∠EHB=∠MNB=90°，
BE=BD+DE=（n+1）k，
BH=BN-HN=（n-1）k，
由勾股定理得EH=2
n
•k
∴sinB=
EH
BE
=
2
n
•k
(n+1)k
=
2
n
n+1
．
证法二：
接证法一中，∵EF∥BC，∴EM∥BN
∴
AM
AN
=
AE
AB
=
1
n
．
设AM=k，则AN=nk，MN=（n-1）k．
连接OD，∵D为切点，∴OD⊥AB
∴OM=OD=
1
2
MN=
(n-1)k
2
，OA=AM+MO=
(n+1)k
2

在Rt△AOD中，由勾股定理得AD=
n
•k
∵∠B+∠BAN=∠AOD+∠BAN=90°，
∴∠B=∠AOD
∴sinB=sin∠AOD=
AD
AO
=
n
•k
(n+1)k
2
=
2
n
n+1
．
点评：本题考查的是切割线定理，切线的性质定理，勾股定理．
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已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当数学公式时，sinB=数学公式；
当数学公式时，sinB=数学公式（提示：数学公式=数学公式）；
当数学公式时，sinB=数学公式．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当数学公式时，sinB的值等于______；
（2）当数学公式时（n是大于1的自然数），请用含n的代数式表示sinB=______，并画出图形，写出已知、求证和证明过程．
（2002•朝阳区）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______
（2002•朝阳区）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______
（2002•朝阳区）已知：在内角不确定的△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB、AC上，EF∥BC，平行移动EF，如果梯形EBCF有内切圆．
当时，sinB=；
当时，sinB=（提示：=）；
当时，sinB=．
（1）请你根据以上所反映的规律，填空：当时，sinB的值等于______

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