Question

我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线。如图，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，点D的坐标为（0，-3）AB为半圆直径，半圆圆心M（1，0），半径为2，则经过点D的“蛋圆”的切线的解析式为__________________。

Answer 1

y=-2x-3

解析试题分析：解:求切线解析式需要先求出二次函数解析式，因为切线过点D，所以切线解析式与二次函数解析式组成方程组，因只有一个交点，所以判别式为零。∵M(1,0)半径=2，∴A(-1,0),B(3,0)，又D(0,-3),设二次函数的解析式为y=a(x-x₁)(x-x₂)，将点A,B,C代入得；-3a=-3,∴a=1，∴y=(x+1)(x-3)=x²-2x-3.∵切线与蛋圆只有一个交点，且经过点D,设切线解析式为y=kx+b,∵过点D,∴b=-3,x²-2x-3="kx-3" ,即-（2+k）²=0,∵只有一个交点，∴判别式△=0，解得k=-2,∴y=-2x-3.
考点：二次函数的定义及性质，一次函数的定义，一元二次方程的判别式求根的方法。
点评：熟知以上几个性质，定义及方法。在解题时找到两个函数的共同点，及都过一点，要注意的是，一元二次方程有一解时，判别式△=0.从而求之，本题属于偏难题型，属于中档题。