Question

如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其底边长为8 cm，腰长为5 cm．一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动．请你探究：当点P运动多长时间时，点P与顶点A的连线PA与腰垂直？

Answer 1

答案：
解析：

分析：假设点P在从点B到点D的运动中的某一时刻有PA⊥AC．可设BP＝x cm，则PC＝(8－x) cm．在Rt△PAC中，由于AP的长不知道，无法建立方程．考虑到△ABC是等腰三角形，如作底边上的高AD，则可用含x的式子表示出AP的长，用勾股定理便可求出x，进而求出运动的时间．当点P运动到D与C之间时，也存在AP⊥AB的情况，故要分类讨论． 　　解：过点A作AD⊥BC，垂足为D． 　　当点P运动到点B与点D之间，PA⊥AC时， 　　设BP＝x cm，则PC＝(8－x) cm． 　　由等腰三角形的性质可知，BD＝DC＝BC＝4 cm． 　　在Rt△ADB中，AD2＋BD2＝AB2， 　　所以AD2＝AB2－BD2＝52－42＝9．解得AD＝3(cm)． 　　所以在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋DP2， 　　即AP2＝32＋(4－x)2． 　　在Rt△PAC中，AP2＋AC2＝PC2， 　　所以32＋(4－x)2＋52＝(8－x)2． 　　解得x＝(cm)，即BP＝(cm)． 　　所以点P运动的时间为÷0.25＝7(s)． 　　当点P运动到点D与点C之间，A⊥AB时，C＝cm．所以＝8－＝(cm)． 　　此时点P运动的时间为÷0.25＝25(s)． 　　所以当点P运动7 s或25 s时，PA与腰垂直． 　　总结：遇斜化直，借助勾股定理，可迅速找到解题的途径．