Question

已知关于x的方程．

（1）若这个方程有实数根，求k的取值范围；

（2）若这个方程有一个根为1，求k的值；

（3）若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

 

Answer 1

【答案】

(1)、k≤5；(2)、k₁=3-，k₂=3+；(3)-5．

【解析】

试题分析：本题易用一元二次方程根的判别式和根与系数的关系求解，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；△＜0⇔方程没有实数根．（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．（2）将x=1代入方程，得到关于k的方程，求出即可，（3）写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．

试题解析：

解：（1）由题意得△=[-2（k-3）]²-4×（k²-4k-1）≥0

化简得-2k+10≥0，解得k≤5．

（2）将1代入方程，整理得k²-6k+6=0，解这个方程得k₁=3-，k₂=3+．

（3）设方程x²-2（k-3）x+k²-4k-1=0的两个根为x₁，x₂，

根据题意得m=x₁x₂．又由一元二次方程根与系数的关系得x₁x₂=k²-4k-1，

即：m=k²-4k-1=（k-2）²-5，所以，当k=2时，m有最小值-5．

考点：根与系数的关系；一元二次方程的解；根的判别式；反比例函数图象上点的坐标特征．