题目内容

已知：⊙O的面积为4π，△ABC内接于⊙O，a、b、c分别是三角形三个内角∠A、∠B、∠C的对边的长，关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，cosA，cosB是二次函数y=[m-（ $数学公式$ ）]x²-[m+（ $数学公式$ ）]x+ $数学公式$ 的图象与x轴的两个交点的横坐标．求△ABC三边的长．

解：∵关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，
∴（-2b）²-4（a+c）（c-a）=0，
整理，得a²+b²=c²，
∴△ABC是直角三角形，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=cosB．
∵cosA，cosB是二次函数y=[m-（ $\text{[math]}$ ）]x²-[m+（ $\text{[math]}$ ）]x+ $\text{[math]}$ 的图象与x轴的两个交点的横坐标，
∴sinA、cosA是关于x的方程[m-（ $\text{[math]}$ ）]x²-[m+（ $\text{[math]}$ ）]x+ $\text{[math]}$ =0的两个根，
∴ $\text{[math]}$ ，
又∵sin²A+cos²A=1，
∴（sinA+cosA）²-2sinA•cosA=1，
∴（ $\text{[math]}$ ）²-2× $\text{[math]}$ =1，
整理，得（4-2 $\text{[math]}$ ）m=6-2 $\text{[math]}$ ，
解得m=3+ $\text{[math]}$ ，
经检验，m=3+ $\text{[math]}$ 是原方程的根，
当m=3+ $\text{[math]}$ 时，原方程变为4x²-（2+2 $\text{[math]}$ ）x+ $\text{[math]}$ =0，
解得x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，
∵△ABC的外接圆面积为4π，
∴外接圆半径R=2，
∴斜边c=4．
∴另外两直角边为2，2 $\text{[math]}$ ．
分析：先由关于x的方程（a+c）x²-2bx+c-a=0有两个相等的实数根，得到判别式△=0，进而得到a²+b²=c²，根据勾股定理的逆定理判定△ABC是直角三角形，再利用互余两角三角函数之间的关系得到sinA=cosB，再根据一元二次方程根与系数的关系及同角三角函数之间的关系求得m的值；将m的值代入方程[m-（ $\text{[math]}$ ）]x²-[m+（ $\text{[math]}$ ）]x+ $\text{[math]}$ =0，解方程求出x的值，由圆的面积公式求出△ABC的外接圆半径R，得到斜边为2R，进而求得两直角边的长度．
点评：本题考查了二次函数的性质，勾股定理的逆定理，互余两角、同角的三角函数之间的关系，一元二次方程根与系数的关系，综合性较强，难度适中．