Question

如图，四边形OABC为直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4），点M从O出发以每秒2个单位长度的速度向A运动；点N从B同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，过点N作NP垂直x轴于点P，连接AC交NP于Q，连接MQ。

（1）点______（填M或N）能到达终点；
（2）求△AQM的面积S与运动时间t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围，当t为何值时，S的值最大；
（3）是否存在点M，使得△AQM为直角三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）点M；
（2） 经过t秒时，，
则，
∵
∴
∴
∴

∴
∵
∴当时，S的值最大。
（3）存在
设经过t秒时，NB=t，OM=2t
则，
∴
①若，则PQ是等腰Rt△MQA底边MA上的高
∴PQ是底边MA的中线
∴
∴
∴
∴点M的坐标为（1，0）。
②若，此时QM与QP重合
∴
∴
∴
∴点M的坐标为（2，0）。