题目内容

已知二次函数y=x²+（m+3）x+m+2，当-1＜x＜3时，恒有y＜0；关于x的方程x²+（m+3）x+m+2=0的两个实数根的倒数和小于 $数学公式$ ．求m的取值范围．

解：①由题意可得，方程x²+（m+3）x+m+2=0与x轴有两个交点，
故有△＞0，即（m+3）²-4（m+2）＞0，
解得：m≠-1，
又y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），
当y＜0时，x可取两个范围：-1＜x＜-m-2或-m-2＜x＜-1，
而由题意得，当-1＜x＜3时，恒有y＜0，
故可得，当y＜0时，x的取值范围为：-1＜x＜-m-2，
也可得出-m-2＞3，
解得：m＜-5；
②由题意得，方程x²+（m+3）x+m+2=0有实数根，
故有△≥0，即（m+3）²-4（m+2）≥0，
解得：m可取任意实数，
又 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$ ，
解得：m＜-12，
综合①②可得：m＜-12．
分析：①y=x²+（m+3）x+m+2=（x+1）（x+m+2），再由当-1＜x＜3时，恒有y＜0，可得出m的范围；
②利用根与系数的关系，得出x₁+x₂及x₁x₂的值，根据 $\text{[math]}$ ＜- $\text{[math]}$ ，也可得出m的取值范围，两个范围结合可得出答案．
点评：此题考查了二次函数的综合应用，解答本题的关键是掌握二次函数与x轴交点与一元二次方程解的联系，要求熟练掌握根与系数的关系，有一定难度．