Question

某健身产品的企业第一批产品A上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后的国内、外市场销售情况进行调研，结果如图（1），（2）所示．
（1）分别写出国内、国外市场的日销售量y₁，y₂（万件）与第一批产品A上市时间t的函数关系式；
（2）如果每件产品A的销售利润为60元，写出第一批产品A上市后日总销售利益W（万元）与上市时间t的函数关系式；
（3）问在第几天日销售，利润最大？

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法求出一次函数解析式，再利用顶点式求出二次函数解析式；
（2）根据单件利润乘以总件数等于总利润即可表示出；
（3）利用一次函数的增减性以及二次函数最值求法得出即可．

解答：解：（1）由图象可知：
y₁=kt，经过（30，60）代入求出即可；
y₁=2t，（0≤t≤30），
y₁=kt+b，经过（30，60），（40，0）代入求出即可；

30k+b=60 40k+b=0

，
解得：k=-6，b=240，
y₁=-6t+240，（30≤t≤40）；
将顶点（20，60）代入二次函数可得：
y₂=a（t-20）²+60，
将（0，0）代入上式得：
a=-

3

20

，
∴y₂=-

3

20

（t-20）²+60；

（2）∵每件产品A的销售利润为60元，
∴第一批产品A上市后日总销售利益W（万元）与上市时间t的函数关系式分别为：
W=60×2t+60×[-

3

20

×（t-20）²+60]=-9t²+480t（0≤t≤30）；
W=-360t+14400+（-9t²+360t）=-9t²+14400（30≤t≤40）

（3）当W=-9t²+480t（0≤t≤30），
∵a=-9＜0，对称轴为直线t=

80

3

≈27，
∴此时W有最大值6399万元，
当W=-9t²+14400（30≤t≤40），
∵a=-9＜0，
∴t=30时，W有最大值=-9×30²+14400=6300万元．
所以第27天日销售利润最大为6399万元．

点评：此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及顶点式求二次函数解析式以及函数最值问题等知识，利用函数增减性求出最值是解决问题的关键．