Question

【题目】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连接CE，CB．
（1）求证：CE=CB；
（2）若AC=2 ，CE= ，求AE的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴OC⊥CD．

∵AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠1=∠3．

又OA=OC，

∴∠2=∠3，

∴∠1=∠2，

∴CE=CB；

（2）解：∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∵AC=2 ，CB=CE= ，

∴AB= = =5．

∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，

∴△ADC∽△ACB，

∴ = = ，即 = = ，

∴AD=4，DC=2．

在直角△DCE中，DE= =1，

∴AE=AD﹣ED=4﹣1=3．

【解析】（1）连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC∥AD，根据平行线的性质和等角对等边证得结论；（2）AE=AD﹣ED，通过相似三角形△ADC∽△ACB的对应边成比例求得AD=4，DC=2．在直角△DCE中，由勾股定理得到DE= =1，故AE=AD﹣ED=3．
【考点精析】掌握勾股定理的概念和切线的性质定理是解答本题的根本，需要知道直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2；切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径．