Question

如图，已知直线y=

3

4

x-1与y轴交于点C，将抛物线y=-

1

4

（x-2）²向上平移n个单位（n＞0）后与x轴交于A，B两点．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）当经过C，A，B三点的圆的面积最小时，
①求n的值；
②在y轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使得⊙P既与直线y=

3

4

x-1相切，又与y轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由直线y=

3

4

x-1与y轴交于点C，令x=0，求得y的值，即可求得点C的坐标；
（2）①首先设平移后二次函数的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+n，由过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点，即可得：当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小，则可求得n的值；
②分别从当点P在直线AC下方时与当点P在直线AC上方时去分析，借助于相似三角形的对应边成比例即可求得答案．

解答：解：
（1）令x=0，y=0-1=-1，
∴点C的坐标（0，-1）；

（2）①平移后二次函数的解析式为y=-

1

4

（x-2）²+n，
由题意知：过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点．
∴当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小．
此时，圆的半径为2，面积为4π．
设圆心为M，直线x=2与x轴交于点D，连接AM，则AM=2，
∵CM=2，OC=1，∴DM=1．
在Rt△AMD中，AD=

AM2-DM2

=

22-12

=

3

，
∴点A的坐标是（2-

3

，0），代入抛物线得n=

3

4

．
∴当n=

3

4

时，过C，A，B三点的圆的面积最小，最小面积为4π；

②如图2，当点P在直线y=

3

4

x-1下方时，
设直线y=

3

4

x-1与x轴相交于点E，过点P作PN⊥EC于点N，PM∥y轴交EC于点M，则∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°，
∴△PMN∽△ECO，
∴

PM

CE

=

PN

OE

，
令y=

3

4

x-1=0．则x=

4

3

，即OE=

4

3

，CE=

5

3

，
设点P的横坐标为m，则PM=MH+PH，
即PM=

3

4

m-1+

1

4

（m-2）²-

3

4

=

1

4

（m²-m-3），
∴PN=

PM•OE

CE

=

1

5

（m²-m-3），
根据题意，

1

5

（m²-m-3）=m，
解得m₁=3+2

3

，m₂=3-2

3

（不合题意，舍去），
即点P的坐标是（3+2

3

，-

5

2

-

3

），
当点P在直线y=

3

4

x-1上方时，同理可得

1

5

（m²-m-3）=-m，
解得m₃=-

7

-2（不合题意，舍去），m₄=

7

-2，即点P的坐标是（

7

-2，2

7

-5），
综上，点P的坐标是（3+2

3

，-

5

2

-

3

）或（

7

-2，2

7

-5）．

点评：此题考查了一次函数与坐标轴交点的特点，二次函数的平移以及圆的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．