Question

（2011•常德）如图，已知抛物线过点A（0，6），B（2，0），C（7，）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若D是抛物线的顶点，E是抛物线的对称轴与直线AC的交点，F与E关于D对称，求证：∠CFE=∠AFE；
（3）在y轴上是否存在这样的点P，使△AFP与△FDC相似，若有请求出所有和条件的点P的坐标，若没有，请说明理由．

Answer 1

（1）解：设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，将A、B、C三点坐标代入，得
，
解得，
∴抛物线解析式为y=x²﹣4x+6；
（2）证明：设直线AC的解析式y=mx+n，
将A、C两点坐标代入，得，解得，∴y=﹣x+6，
∵y=x²﹣4x+6=（x﹣4）²﹣2，∴D（4，﹣2），E（4，4），
∵F与E关于D对称，∴F（4，﹣8），则直线AF的解析式为y=﹣x+6，CF的解析式为y=﹣22，
∴直线AF，CF与x轴的交点坐标分别为（，0），（，0），
∵4﹣=﹣4，∴两个交点关于抛物线对称轴x=4对称，∴∠CFE=∠AFE；
（3）解：存在．设P（0，d），则AP=|6﹣d|，AF==2，
FD=﹣2﹣（﹣8）=6，CF==，
当△AFP∽△FDC时，=，即=，解得d=或﹣，
当△AFP∽△FCD时，=，即=，解得d=﹣2或14，
∴P点坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣2）或（0，14）．

解析