Question

【题目】在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“衍生直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”．已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．

（1）填空：该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；

（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，求点N的坐标；

（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“衍生直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（-2，）；（1,0）；

（2）N点的坐标为（0，），（0，）；

（3）E（-1，-）、F（0，）或E（-1，），F（-4，）

【解析】

（1）由抛物线的“衍生直线”知道二次函数解析式的a即可；（2）过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求出ON的长，可求出N点的坐标；（3）分别讨论当AC为平行四边形的边时，当AC为平行四边形的对角线时，求出满足条件的E、F坐标即可

（1）∵，a=，则抛物线的“衍生直线”的解析式为；

联立两解析式求交点，解得或，

∴A（-2，），B（1,0）；

（2）如图1，过A作AD⊥y轴于点D，

在中，令y=0可求得x= -3或x=1，

∴C（-3,0），且A（-2，），

∴AC=

由翻折的性质可知AN=AC=，

∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”，

∴N在y轴上，且AD=2，

在Rt△AND中，由勾股定理可得

DN=，

∵OD=，

∴ON=或ON=，

∴N点的坐标为（0，），（0，）；

（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2 ，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，则有AC∥EF且AC=EF，

∴∠ ACK=∠ EFH，

在△ ACK和△ EFH中

∴△ ACK≌△ EFH，

∴FH=CK=1，HE=AK=，

∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴ F点的横坐标为0或-2，

∵点F在直线AB上，

∴当F点的横坐标为0时，则F（0，），此时点E在直线AB下方，

∴E到y轴的距离为EH-OF=-=，即E的纵坐标为-，

∴ E（-1，-）；

当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；

②当AC为平行四边形的对角线时，

∵ C（-3,0），且A（-2，），

∴线段AC的中点坐标为（-2.5， ），

设E（-1，t），F（x，y），

则x-1=2×（-2.5），y+t=，

∴x= -4，y=-t，

-t=-×（-4）+，解得t=，

∴E（-1，），F（-4，）；

综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-）、（0，）或E（-1，），F（-4，）