Question

如图，在?ABCD中，AE是∠BAD的角平分线，交CD于点E，与BC的延长线交于点M，CF是∠BCD的角平分线，交AB于点F，交DA的延长线于点N．
（1）试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
（2）求证：AN=CM．

Answer 1

分析：（1）四边形AFCE的形状是平行四边形，利用已知条件证明AE∥CF即可；
（2）由（1）知AF=CE，再证明CM=CE，同理可得AN=AF，进而证明AN=CM．

解答：解：（1）平行四边形，
理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠MAD=∠AMC，
∵AE是∠BAD的角平分线，CF是∠BCD的角平分线，
∴∠MAD=

1

2

∠DAB，∠BCF=

1

2

∠BCD，
∴∠MAD=∠BCF，
∴∠BCF=∠AMC，
∴AE∥CF，
∵AF∥CE，
∴四边形AFCE的形状是平行四边形；
（2）证明：由（1）知AF=CE，
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAD=

1

2

∠DAB，
∵∠MEC=∠DEA，
∴∠MEC=

1

2

∠DAB，
∵∠AMC=∠MAD=

1

2

∠DAB，
∴∠MEC=∠AMC，
∴CM=CE，同理可得AN=AF，
∴AN=CM．

点评：本题考查了平行四边形的性质和判定、角平分线的性质以及等腰三角形的判定和性质，题目的综合性较强，难度中等．