题目内容
在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…，均在x轴上，且OA1=OA2=A2A3=…=An-1An=A1B1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2，分别以OA1，OA2，A2A3，…，An-1An，A1B1，B1B2，B2B3，…，Bn-1Bn为底边的等腰三角形的第三个顶点C1，C2，C3，…，Cn，D1，D2，D3，…，Dn在直线y=x+2上，记△OA1C1的面积为S1，△OA2C2的面积为S2，…，△An-1AnCn的面积为Sn，记△A1B1D1的面积为T1，△B1B2D2的面积为T2，…，△Bn-1BnDn的面积为Tn，那么S1=1
1
，T1+T2=4
4
，S1+S2+…+Sn+T1+T2+…+Tn=2n2．
2n2．
．分析：如图，如图，过点C1F⊥x轴于F、C2⊥x轴于E，根据等腰三角形的性质就可以求出OF，OE的值，就可以得出F、E的坐标，根据直线的解析式就可以求出C1F、C2E的值，由三角形的面积公式就可以求出S1、S2…Sn，T1、T2…Tn的值，根据n个连续奇数的和的公式从而可以求出结论．
解答：解：如图，过点C1F⊥x轴于F、C2⊥x轴于E，
∵△A1C1O和△OC2A2为等腰三角形，且OA1=OA2=A2A3=…=An-1An=A1B1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2，
∴OF=OE=
OA1=
OA2=1，
∴F（-1，0），E（1，0），
∴C1、C2的横坐标分别为：-1，1．
∵C1、C2都在y=x+2上，
∴C1（-1，1），C2（1，3），
同理可以求出C3、C4、C5…D1、D2、D3、D4…的坐标，
∴C1F=1，C2E=3，
∴S1=
=1，S2=
=3，S3=
=5，…Sn=2n-1，
同理可得：T1=
=1，T2=
=3，T3=
=5，、…Tn=2n-1，
∴T1+T2=1+3=4．
∵1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
…
1+3+5+7+…+2n-1=n2
∴S1+S2+…+Sn+T1+T2+…+Tn=1+3+5+7+…+2n-1+1+3+5+7+…+2n-1，
=（1+3+5+7+…+2n-1）+（1+3+5+7+…+2n-1），
=n2+n2，
=2n2．
故答案为：1，4，2n2．
∵△A1C1O和△OC2A2为等腰三角形，且OA1=OA2=A2A3=…=An-1An=A1B1=B1B2=B2B3=…=Bn-1Bn=2，
∴OF=OE=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴F（-1，0），E（1，0），
∴C1、C2的横坐标分别为：-1，1．
∵C1、C2都在y=x+2上，
∴C1（-1，1），C2（1，3），
同理可以求出C3、C4、C5…D1、D2、D3、D4…的坐标，
∴C1F=1，C2E=3，
∴S1=
| 1×2 |
| 2 |
| 2×3 |
| 2 |
| 2×5 |
| 2 |
同理可得：T1=
| 2×1 |
| 2 |
| 2×3 |
| 2 |
| 2×5 |
| 2 |
∴T1+T2=1+3=4．
∵1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，
…
1+3+5+7+…+2n-1=n2
∴S1+S2+…+Sn+T1+T2+…+Tn=1+3+5+7+…+2n-1+1+3+5+7+…+2n-1，
=（1+3+5+7+…+2n-1）+（1+3+5+7+…+2n-1），
=n2+n2，
=2n2．
故答案为：1，4，2n2．
点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，点的坐标的运用，三角形的面积公式的运用，n个连续奇数求和公式的运用，解答本题时，根据规律求出每个三角形的面积是关键，运用规律求和是难点．
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