题目内容

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC的面积为S，周长为l．
（1）填表：
三边a、b、c a+b-c $数学公式$
3、4、5 2
5、12、13 4
8、15、17 6
（2）如果a+b-c=m，观察上表猜想： $数学公式$ =______，（用含有m的代数式表示）；
（3）说出（2）中结论成立的理由．

解：（1）∵Rt△ABC的面积S= $\text{[math]}$ ab，周长l=a+b+c，故当a、b、c三边分别为3、4、5时，S= $\text{[math]}$ ×3×4=6，l=3+4+5=12，故 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，同理将其余两组数据代入可得 $\text{[math]}$ 为1， $\text{[math]}$ ．
∴应填： $\text{[math]}$ ，1， $\text{[math]}$

（2）通过观察以上三组数据，可得出 $\text{[math]}$ ．

（3）∵l=a+b+c，m=a+b-c，
∴lm=（a+b+c）（a+b-c）
=（a+b）²-c²
=a²+2ab+b²-c²．
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，s= $\text{[math]}$ ab，
∴lm=4s．即 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）Rt△ABC的面积S= $\text{[math]}$ ab，周长l=a+b+c，分别将3、4、5，5、12、13，8、15、17三组数据代入两式，可求出 $\text{[math]}$ 的值；
（2）通过观察以上三组数据，可得出： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
（3）根据lm=（a+b+c）（a+b-c），a²+b²=c²，S= $\text{[math]}$ ab可得出：lm=4s，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查勾股定理在解直角三角形面积和周长中的运用．