Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上(与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则我们称点P为抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．

(1)直接写出抛物线y＝x2﹣1的勾股点坐标为_____；

(2)如图2，已知抛物线：y＝ax2+bx(a＜0，b＞0)与x轴交于A、B两点，点P为抛物线的顶点，问点P能否为抛物线的勾股点，若能，求出b的值；

(3)如图3，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(12，0)，点P到x轴的距离为1，点P是过A、B两点的抛物线上的勾股点，求过P、A、B三点的抛物线的解析式和点P的坐标．

Answer 1

【答案】(1)(0，﹣1)；(2)当b＝2时，点P为抛物线的勾股点；(3)当过P，A，B三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2+14x﹣24时，点P的坐标为(7﹣2，1)或(7+2，1)；当过P，A，B三点的抛物线的解析式为y＝x2﹣14x+24时，点P的坐标为(7﹣2，﹣1)或(7+2，﹣1)．

【解析】

（1）根据抛物线 可知与 轴的交点坐标及的长度，设勾股点的坐标为，再根据勾股点的定义可求出勾股点的坐标；

（2）利用配方法可求出点的坐标，由点为抛物线的勾股点可知为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出的值；

（3）设点的坐标为 ，由到 轴的距离为1可知 ，根据勾股点的定义可列出关于的一元二次方程，即可得出点的坐标，由点 三点可设抛物线的解析式为 ，由的坐标利用系数待定法可求出该抛物线的解析式.

解：(1)当时， ，

解之得： ，

∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， ．

设抛物线的勾股点坐标为，

∴ ，

∴ ．

∵ ，

∴ ，

∴ ，

解得： ．

当 时， ，

解得： ．

∴抛物线 的勾股点坐标为 ．

故答案为： ．

(2)∵，

∴点P的坐标为 ．

若点P能为抛物线的勾股点，则为等腰直角三角形，

∴ ，

∴．

∴当时，点P为抛物线的勾股点．

(3)设点P的坐标为 ．

∵点P到x轴的距离为1，

∴．

∵ ，点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，

根据两点之间的距离公式

∴ ，

∴ ，

解得： ．

∴点P的坐标为，．

设过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ，

当点P的坐标为 时，将 代入 ，解之得：

，

∴设过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ，即 ．

同理：当点P的坐标为 时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ；

当点P的坐标为 时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ；

当点P的坐标为 时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ．

综上所述：当过P，A，B三点的抛物线的解析式为 时，点P的坐标为 或 ；

当过P，A，B三点的抛物线的解析式为 时，点P的坐标为 或 ．