题目内容
【题目】如图1，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在抛物线上(与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2+BP2＝AB2，则我们称点P为抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的勾股点．
(1)直接写出抛物线y＝x2﹣1的勾股点坐标为_____；
(2)如图2，已知抛物线：y＝ax2+bx(a＜0，b＞0)与x轴交于A、B两点，点P为抛物线的顶点，问点P能否为抛物线的勾股点，若能，求出b的值；
(3)如图3，在平面直角坐标系中，点A(2，0)，B(12，0)，点P到x轴的距离为1，点P是过A、B两点的抛物线上的勾股点，求过P、A、B三点的抛物线的解析式和点P的坐标．
【答案】(1)(0，﹣1)；(2)当b＝2时，点P为抛物线的勾股点；(3)当过P，A，B三点的抛物线的解析式为y＝﹣x2+14x﹣24时，点P的坐标为(7﹣2
，1)或(7+2，1)；当过P，A，B三点的抛物线的解析式为y＝x2﹣14x+24时，点P的坐标为(7﹣2，﹣1)或(7+2，﹣1)．
【解析】
（1）根据抛物线
可知与
轴的交点坐标及
的长度，设勾股点的坐标为
，再根据勾股点的定义可求出勾股点的坐标；
（2）利用配方法可求出点
的坐标，由点为抛物线的勾股点可知
为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质即可求出
的值；
（3）设点的坐标为
，由到 轴的距离为1可知
，根据勾股点的定义可列出关于
的一元二次方程，即可得出点的坐标，由点
三点可设抛物线的解析式为
，由的坐标利用系数待定法可求出该抛物线的解析式.
解：(1)当
时，
，
解之得：
，
∴点A的坐标为
，点B的坐标为
，
．
设抛物线
的勾股点坐标为
，
∴
，
∴
．
∵ ，
∴
，
∴
，
解得：
．
当
时，
，
解得：
．
∴抛物线 的勾股点坐标为
．
故答案为： ．
(2)∵
，
∴点P的坐标为
．
若点P能为抛物线的勾股点，则为等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
∴当时，点P为抛物线的勾股点．
(3)设点P的坐标为
．
∵点P到x轴的距离为1，
∴．
∵
，点A的坐标为
，点B的坐标为
，
根据两点之间的距离公式
∴
，
∴
，
解得：
．
∴点P的坐标为
，．
设过P，A，B三点的抛物线的解析式为
，
当点P的坐标为
时，将 代入 ，解之得：
，
∴设过P，A，B三点的抛物线的解析式为
，即
．
同理：当点P的坐标为
时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ；
当点P的坐标为
时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为
；
当点P的坐标为
时，过P，A，B三点的抛物线的解析式为 ．
综上所述：当过P，A，B三点的抛物线的解析式为
时，点P的坐标为 或 ；
当过P，A，B三点的抛物线的解析式为 时，点P的坐标为 或 ．
