Question

对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）．下列说法：
①若△=b²-4ac＞0，那cx²+bx+a=0么一定有两个不相等的实数根；
②若a+b+c=0，那么ax²+bx+c=0一定有一个根是1；
③若x₀是ax²+bx+c=0的一个根，那么△=；
④若b²＞5ac，那么ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
其中正确的说法的个数是

1. A.
   4个
2. B.
   3个
3. C.
   2个
4. D.
   1个

Answer 1

B
分析：①△=b²-4ac＞0，判断方程cx²+bx+a=0也一定有两个不等的实数根，只要证明方程的判别式的值大于0即可；
②若x=1是方程ax²+bx+c=0的一个根，则代入即可作出判断；
③难度较大，用到了求根公式表示x₀．
④根据b²＞5ac可以得到b²-4ac＞0，从而证得方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
解答：①△=b²-4ac＞0，所以方程cx²+bx+a=0有两个不相等的实数根，而当c=0时却只有一个实数根，故错误；
②∵么ax²+bx+c=0一定有一个根是1，
∴a+b+c=0；
③若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0的根，可得x₀=，
把x₀的值代入（2ax₀+b）²，可得b²-4ac=（2ax₀+b）^2；

④∵b²＞5ac，
∴b²-5ac＞0，
∴b²-4ac＞0，
∴方程ax²+bx+c=0一定有两个不相等的实数根．
故选B．
点评：此题主要考查了根的判别式及其应用．尤其是④难度较大，用到了求根公式表示x₀，整体代入求b²-4ac=（2ax₀+b）²．
总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．