Question

已知：如图，抛物线y=

1

2

x2-3x+c交x轴正半轴于A、B两点，交y轴于C点，过A、B、C三点作⊙D．若⊙D与y轴相切．
（1）求c的值；
（2）连接AC、BC，设∠ACB=α，求tanα；
（3）设抛物线顶点为P，判断直线PA与⊙D的位置关系，并证明．

Answer 1

分析：（1）根据圆和抛物线的对称性可知：圆心D必在抛物线的对称轴上，因此D的横坐标与抛物线的对称轴的值相同，可根据抛物线的解析式求出对称轴的值即可得出D点的横坐标，由于圆D和y轴相切，因此D的横坐标就是圆的半径．先根据抛物线的解析式，用c表示出A、B的坐标，即可表示AB的长，然后在直角三角形AED中，AE=

1

2

AB，DE=OC=c，已经求得了圆的半径根据勾股定理即可得出c的值，进而可求出抛物线的解析式．
（2）由于∠ACB不在直角三角形中，因此无法直接求出其正切值，可通过构建直角三角形来求解．延长AD交圆与F，连接BF，那么∠ABF=90°，根据圆周角定理可知：∠F=∠ACB=α，因此在直角三角形ABF中，求∠F的正切值即可．
（3）连接PA，证∠PAD是否等于90°即可，根据抛物线的解析式可得出A、B、P的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式求出DA²、AP²、DP²的长，看DA²+AP²是否与DP²相等即可．

解答：解：（1）连接DC，作AB的垂直平分线MN，交AB于E，连接DA．
∵⊙D经过点C且与y轴相切
∴⊙D与y轴相切于点C
∴DC⊥y轴
∵⊙D和抛物线都经过点A、B
∴MN经过点D、P
∴MN是抛物线的对称轴
由y=

1

2

x²-3x+c知：
对称轴是x=3；令x=0得y=c．
∴点C坐标为（0，c），点D坐标为（3，c），
⊙D的半径为3
由y=

1

2

x²-3x+c知，
令y=0得

1

2

x²-3x+c=0
解得：x₁=3+

9-2c

，x₂=3-

9-2c

∴点A坐标为（3-

9-2c

，0），
点B坐标为（3+

9-2c

，0）
∴AE=

1

2

（OB-OA）=

1

2

[（3+

9-2c

）-（3-

9-2c

）]=

9-2c

在Rt△ADE中，AE²+DE²=DA²，即：（

9-2c

）²+c²=9
∴c²-2c=0解得：c=0（不符题意舍）或c=2．
∴c=2．

（2）延长AD交圆于点F，连接BF．
∵AF是⊙D的直径
∴∠ABF=90°
∵在Rt△ABF中，AB=2AE=2

5

，AF=6，
∴BF=

AF2-AB2

=

36-20

=4．
∴tan∠F=

AB

BF

=

2 5

4

=

5

2

．
∵∠ACB与∠F都是弧AB所对的圆周角，
∴∠ACB=∠F．
∴tan∠ACB=tan∠F=tanα=

5

2

．

（3）判断：直线PA与⊙D相切．
连接PA．
由（1）知c=2，于是D（3，2），AE=

9-2c

=

5

易知：顶点P坐标为（3，-

5

2

）
在Rt△ADE中，PA²=AE²+PE²=5+

25

4

=

45

4

又：PD²=（DE+EP）²=（2+

5

2

）²=

81

4

；DA²=3²=9
因为9+

45

4

=

81

4

所以，在△DAP中，DA²+PA²=PD²
所以，△DAP为直角三角形，∠DAP=90°，点A在圆上
所以，PA与⊙D相切．

点评：本题为二次函数综合题，综合考查了圆的相关知识和二次函数的应用．难度较大．