Question

已知直角三角形两边长x，y满足|x2-4|+

y2-6y+9

=0，则直角三角形内切圆半径为（　　）

• A．

  5 -1

  2

• B．

  13

  2

• C．

  5 -1

  2

  或

  5- 13

  2

• D．

  13

  2

  或

  3

  2

Answer 1

分析：求出x、y的值，设内切圆O的半径是R，与AC、BC、AB分别切于F、D、E，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，①AC=2，BC=3时，由勾股定理求出AB，由三角形的面积公式推出AC×BC=AC×OF+BC×OD+AB×OE，代入求出R即可；②AC=2，AB=3时，由勾股定理求出BC，同样由三角形的面积公式求出R即可．

解答：解：∵|x²-4|+

y2-6y+9

=0，
∴x²-4=0，y²-6y+9=0，
解得：x=±2，y=3，
∵x、y表示直角三角形的两边长，
∴x=2，y=3，
设内切圆O的半径是R，与AC、BC、AB分别切于F、D、E，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，
①AC=2，BC=3时，由勾股定理得：AB=

22+32

=

13

，
由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO，
∴

1

2

AC×BC=

1

2

AC×OF+

1

2

BC×OD+

1

2

AB×OE，
即2×3=2R+3R+

13

R，
解得：R=

5- 13

2

，
②AC=2，AB=3时，由勾股定理得：BC=

32-22

=

5

由三角形的面积公式得：S_△ABC=S_△ACO+S_△BCO+S_△ABO，
∴

1

2

AC×BC=

1

2

AC×OF+

1

2

BC×OD+

1

2

AB×OE，
即2×

5

=2R+3R+

5

R，
解得：R=

5 -1

2

．
故选C．

点评：本题考查了非负数性质，勾股定理，三角形的面积，三角形的内切圆等知识点的应用，关键是能根据题意求出x、y的值和求出符合条件的所有情况，题型较好，但有一定的难度．