Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是角平分线，DE∥BC交AC于点E，DF∥AC交BC于点F．
求证：①四边形CEDF是正方形．
②CD²=2AE•BF．

Answer 1

证明：①∵∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，
∴DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，
∵CD是角平分线
∴DE=DF，
即四边形CEDF是正方形；

②在Rt△AED和Rt△DFB中，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，
∴Rt△AED∽Rt△DFB，
∴，
即DE•DF=AE•BF，
∵CD=DE=DF，
∴CD²=DE•DF=2DE•DF=2AE•BF．
分析：①由于∠ACB=90°，DE∥BC，DF∥AC，利用平行线的性质，可得∠ECF=∠DEC=∠DFC=90°，可知四边形CEDF是矩形，而CD是角平分线，那么有DE=DF，于是可证四边形CEDF是正方形；
②由于DE∥BC，那么∠ADE=∠B，再加上一对直角相等，可证Rt△AED∽Rt△DFB，从而有DE•DF=AE•BF，
又四边形CEDF是正方形，于是CD=DE=DF，从而易证CD²=2AE•BF．
点评：本题考查了平行线的性质、角平分线定理、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质．注意一组邻边相等的矩形是正方形．