题目内容
如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=6，△ABD的周长为24．
（1）求△ABC的周长；
（2）如果AB∥DE，求△ABC的面积．
解：（1）∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=CD，AE=CE=6，
∴AC=12．
∵△ABD的周长为24，
∴AB+BD+AC=AB+BD+CD=AB+BC=24，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=36；
（2）∵AB∥DE，DE⊥AC，
∴AB⊥AC，
设AB=x，则BC=24-x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，
∴x2+122=（24-x）2，
解得：x=9，
∴S△ABC=
AB•AC=54．
分析：（1）由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，又由AE=6，△ABD的周长为24，可求得AC与AB+BC的长，继而求得答案；
（2）由AB∥DE，可得△ABC是直角三角形，然后设AB=x，由勾股定理可得方程：x2+122=（24-x）2，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握转化思想、方程思想与数形结合思想的应用．
∴AD=CD，AE=CE=6，
∴AC=12．
∵△ABD的周长为24，
∴AB+BD+AC=AB+BD+CD=AB+BC=24，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC=36；
（2）∵AB∥DE，DE⊥AC，
∴AB⊥AC，
设AB=x，则BC=24-x，
在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，
∴x2+122=（24-x）2，
解得：x=9，
∴S△ABC=
AB•AC=54．分析：（1）由DE是AC的垂直平分线，可得AD=CD，又由AE=6，△ABD的周长为24，可求得AC与AB+BC的长，继而求得答案；
（2）由AB∥DE，可得△ABC是直角三角形，然后设AB=x，由勾股定理可得方程：x2+122=（24-x）2，解此方程即可求得答案．
点评：此题考查了线段垂直平分线的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握转化思想、方程思想与数形结合思想的应用．
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