Question

如图所示，在四边形ABCD中，已知：AB∥CD，AD=BC，∠A=∠B=90°，E是AB上一点，且DE=DC，过点C作CF⊥DE，垂足为点F．
（1）证明：DA=CF；
（2）猜想：EB与EF的大小关系，请证明你的猜想．

Answer 1

（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CDF=∠AEF．
在△AED和△FDC中
，
∴△AED≌△FDC（AAS）．
∴DA=CF．

（2）猜想：EB=EF，
证明如下：连接CE；
∵DA=CF，AD=BC，
∴CB=CF．
在Rt△CBE和Rt△CFE中
，
∴Rt△CBE≌Rt△CFE（HL），
∴BE=EF．
分析：本题条件比较充分，第一问的证明是不难的．要证DA=CF，只需△AED≌△FDC，要证△AED≌△FDC，现有条件DE=DC需∠CDF=∠AEF，∠EAD=∠DFC而由平行和垂直都可证得．
点评：本题考查了三角形全等的判定及性质；有的问题在证明时要作辅助线．作法要根据需要而定．