Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于C点，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若AD=2，AC=

6

，求⊙O的半径R的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由题意得OC⊥CD．又因为AC平分∠DAB，则∠1=∠2=

1

2

∠DAB．即可得出AD∥OC，则AD⊥CD；
（2）连接BC，则∠ACB=90°，可证明△ADC∽△ACB．则

AD

AC

=

AC

2R

，从而求得R．

解答：（1）证明：连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C点，AB是⊙O的直径，∴OC⊥CD．（1分）
又∵AC平分∠DAB，∴∠1=∠2=

1

2

∠DAB．
又∠COB=2∠1=∠DAB，（3分）
∴AD∥OC，∴AD⊥CD．（4分）

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°，
在△ADC和△ACB中∵∠1=∠2，∠3=∠ACB=90°，（6分）
∴△ADC∽△ACB．（7分）
∴

AD

AC

=

AC

2R

（9分）
∴R=

AC2

2AD

=

3

2

．（10分）

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理以及相似三角形的判定和性质，是中档题，难度不大．