Question

（1）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是底BC的中点，EF∥CD交BD于F，EG∥AB交AC于G，求证：EF+EG=AB；
（2）如图，若E为BC上任一点（中点除外）其他条件不变，上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）点E是BC的中点，EG∥AB，则EG是△ABC的中位线，同理EF也是中位线，根据中位线定理，就可以证出结论．
（2）中若E不是中点，就可以根据三角形相似证明．

解答：解：（1）∵点E是BC的中点，EG∥AB，
∴EG是△ABC的中位线．
∴EG=

1

2

AB，同理EF=

1

2

CD．
∴EF+EG=

1

2

AB+

1

2

CD．
又∵AB=CD，
∴EF+EG=AB．

（2）∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD．
∴

EF

CD

=

BE

BC

．
同理

EG

AB

=

CE

BC

．
两式相加得到

EG

AB

+

EF

CD

=

CE

BC

+

BE

BC

=1，
又∵AB=CD，
∴EF+EG=AB．

点评：本题在利用三角形中位线定理，解决第一问的基础上，利用三角形的相似解决第二问，善于发现两个题目的联系是解决本题的关键．