Question

如图所示，E是边长为12的正方形ABCD中CD上任意一点，以点A为中心，将△ADE顺时针旋转90°至△ABF的位置，设DE=t
（1）用含t的代数式表示：△ABF的面积为S₁，△CEF的面积为S₂和△AEF的面积为S；
（2）求证：①S₃＞S₂ ，②S₃≥2S₁；
（3）若CE、DE的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的两个实数根，求AF的值．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的边长为12，DE=t，分别表示出BF、FC、EC的长，再根据三角形的面积公式

底×高

2

列出算式即可；
（2）根据（1）求出的S₃、S₂、S₁的结果，分别代入S₃-S₂和S₃-2S₁，然后判断出S₃-S₂和S₃-2S₁的符号，即可得出答案；
（3）根据CE、DE的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的两个实数根，再根据根与系数的关系，求出CE+DE=m，再根据CE+DE=CD=12，求出m=12，再把m=12代入原方程，求出x的值，最后根据勾股定理即可求出AF的值．

解答：解：（1）∵边长为12的正方形ABCD，DE=t，
∴△ABF的面积为S₁=

1

2

AD•DE=

1

2

×12•t=6t，
∵△ABF是△ADE顺时针旋得到的，
∴BF=DE=t，
∴△CEF的面积为S₂=

1

2

FC•EC=

1

2

（12+t）（12-t）=72-

1

2

t²，
∵AE=

AD2+DE2

=

t2+122

，
∴△AEF的面积S₃=

1

2

AE²=

1

2

（t²+12²）=

1

2

t²+72；
（2）∵S₃-S₂=

1

2

t²+72-（72-

1

2

t²）=t²，
又∵t＞0，
∴t²＞0，
∴S₃-S₂＞0，
∴S₃＞S₂ ；
②∵S₃=

1

2

t²+72，S₁=6t，
∴S₃-2S₁=

1

2

t²+72-12t=

1

2

（t-12）²≥0，
∴S₃≥2S₁；
（3）∵CE、DE的长度是关于x的一元二次方程x²-mx+3m-1-=0的两个实数根，
∴CE+DE=m，
∵CE+DE=CD=12，
∴m=12，
把m=12代入x²-mx+3m-1-=0得：x²-12x+35=0，
解得：x₁=5，x₂=7，
当DE=5时，AF=AE=

52+122

=13，
当DE=7时，AF=AE=

72+122

=

193

；

点评：此题考查了四边形的综合，用到的知识点是勾股定理、旋转的性质、根与系数的关系、正方形的性质等，解题的关键是综合利用以上知识点，列出算式．