Question

已知：如图，⊙O₁和⊙O₂外切于A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切线，切点分别为B、C．连结BA并延长交⊙O₁于D，过D点作CB的平行线分别交⊙O₂于E、F．

(1)求证：CD是⊙O₁的直径；

(2)试判断线段BC、BE、BF的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)过点A作⊙O1和⊙O2的内公切线交BC于点G，连结AC． 　　∵GB、GA分别切⊙O2于B、A， 　　∴GB＝GA． 　　同理GC＝GA． 　　∴GA＝GB＝GC． 　　∴AB⊥AC，即∠CAD为直角． 　　∴CD是⊙O1的直径． 　　(2)结论为BC＝BE＝BF． 　　连结AE．在△CBA和△EBD中， 　　∵∠CBA＝∠BEA，又∵BC∥FD， 　　∴∠CBA＝∠BDE． 　　∴∠BEA＝∠BDE． 　　又∵∠ABE＝∠EBD， 　　∴△ABE∽△EBD． 　　∴＝，得BE2＝BA·BD． 　　由切割线定理，得BC2＝BA·BD， 　　∴BE＝BC． 　　∵∠CBE＝∠BFE，又∵BC∥FD， 　　∴∠CBE＝∠BEF． 　　∴∠BFE＝∠FEB， 　　∴BE＝BF． 　　∴BE＝BF＝BC．

提示：

(1)证明CD所对的圆周角为直角，故需连结AC；(2)由BC是⊙O1切线，所以BC2＝BA·BD，又易证BE2＝BA·BD．证明BE＝BF的一般方法是证明它们所对的圆周角相等．