Question

【题目】如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，点D是上的一点，且，连接AD交BC于点F，过点A作⊙O的切线AE交BC的延长线于点E．

（1）求证：CF＝CE；

（2）若AD＝8，AC＝5，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）根据切线的性质和圆周角定理得到∠CAE＝∠B，∠DAC＝∠B，即可得到∠CAE＝∠CAF，然后通过证得△CAE≌△CAF即可证得结论；

（2）连接OC，则根据垂径定理得到OC⊥AD，AH＝DH，根据勾股定理求得CH＝3，设⊙O的半径为r，在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，得到r2＝42+（r﹣3）2，解得即可．

（1）证明：∵∠ACB＝90°，

∴AB是⊙O的直径，AC⊥EF，

∵AE是⊙O的切线，

∴∠CAE＝∠B，

∵，

∴∠DAC＝∠B，

∴∠CAE＝∠CAF，

在△CAE和△CAF中

∴△CAE≌△CAF（SAS），

∴CF＝CE；

（2）解：连接OC，交AD于H，

∵，

∴OC⊥AD，AH＝DH，

∵AD＝8，AC＝5，

∴AH＝4，

在Rt△ACH中，CH＝＝3，

设⊙O的半径为r，

∴OH＝r﹣3，

在Rt△AOH中，OA2＝AH2+OH2，

∴r2＝42+（r﹣3）2，

解得r＝