Question

【题目】在中， ，点分别是边、的中点，将绕着点旋转，点旋转后的对应点分别为点，当直线经过点时，线段的长为____________

Answer 1

【答案】或

【解析】

当直线经过点时，有两种情况，均用三点共线特征及勾股定理求出AE长为5或3，采用两边对应成比例且夹角相等证得△CBD∽△ABE，利用相似三角形对应边成比例求解.

解：在Rt△ACB中，，

由勾股定理得，AB=,

∵分别是边、的中点,

∴DE是△ACB的中位线，BD=2，BE= ,

∴DE∥AC，DE=

∴∠EDB=90°,

由旋转可得，BD=2，DE=1，BE=，∠BDE=90°,

第一种情况，如图1，

∵点A，D，E三点共线,

∴∠ADB=90°,

由勾股定理得AD=，

∴AE=AD+DE=5

∵∠ABC=∠DBE,

∴∠CBD=∠ABE,

∵ ,

∴△CBD∽△ABE,

∴,

∴,

∴CD=

第一种情况，如图2，

∵点A，D，E三点共线,

∴∠ADB=90°,

由勾股定理得AD=，

∴AE=AD-DE=3

∵∠ABC=∠DBE,

∴∠CBD=∠ABE,

∵ ,

∴△CBD∽△ABE,

∴,

∴,

∴CD=

∴CD长为或.

故答案为：或.