Question

【题目】如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，BO=1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F，点P从点A出发沿射线AO以每秒2个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）①当t为何值时，PQ∥AB；②当t为何值时，PQ∥EF；

（2）当点P在O的左侧时，记四边形PFEQ的面积为S，求S关于t的函数关系式；

（3）以O为原点，OA所在直线为x轴，建立直角坐标系，若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′，与线段EF有公共点时，抛物线y=ax2+1经过P′Q′的中点，此时的抛物线与x正半轴交于点M；

①求a的取值范围；

②求点M移动的运动速度．

Answer 1

【答案】（1）①当t=时，PQ∥AB；②当t=时，PQ∥E

（2）S=t2+t﹣；

（3）①﹣16≤a≤﹣2

②单位长度/秒

【解析】

试题分析：（1）由△OPQ∽△OAB，得列出方程即可解决问题．

（2）过点E作EG⊥BF，根据S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）计算即可．

（3）①由图象3，可知，≤t≤1时，线段P′Q′，与线段EF有公共点，分别求出t=，t=1时a的值即可解决问题．

②分别求出a=﹣16，a=﹣2时，点M坐标即可解决问题．

试题解析：（1）如图1中，①∵PQ∥AB，

∴△OPQ∽△OAB，

∴，

∵AP=2t，OQ=t，OA=，BO=1，

∴，

∴t=，

∴当t=时，PQ∥AB；

②∵PQ∥EF，

∴∠QPO=∠ENA，

∵∠AEN=∠QOP=90°，

∴△ANE∽△QOP，

∵∠AOB=90°，

∴tanA==，

∴∠A=∠PQO=30°，

∴=，

∴t=，

∴当t=时，PQ∥EF；

（2）如图2中，过点E作EG⊥BF，

∵∠BAO=30°，

∴∠OBA=90°﹣∠BAO=60°，

∵BG=1﹣t，

∵EF为AB的垂直平分线，

∴BE=1，DF=1，

在Rt△BEA中，∠BEG=60°，BE=1，

∴EG=，

∴S=QF×EG+QF×OP=QF（EG+OP）=t2+t﹣；

（3）如图3中，①设EF与x轴交于点G．

在RT△AEG中，∵∠AEG=90°，AE=1，∠EAG=30°，

∴cos∠EAG=，

∴AG=，OG=，

当P′1与点G重合时，t=（+）÷2=，

由图象可知，≤t≤1时，线段P′Q′，与线段EF有公共点，

当t=时，P′1Q′1的中点坐标（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣16，

当t=1时，P′2Q′2的中点坐标（，﹣），代入y=ax2+1得到，a=﹣2，

∴﹣16≤a≤﹣2．

②当a=﹣16时，抛物线y=﹣16x2+1，与正半轴交于点M（，0），

当a=﹣2时，抛物线y=﹣2x2+1，与正半轴交于点M（，0），

∴点M移动的运动速度==单位长度/秒．