Question

已知△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm，动点P从C点出发，以每秒1cm的速度，沿CA、AB运动到B点．
（1）设点P从点C开始运动的路程为xcm，△BCP面积是ycm²，把y表示成x的函数；
（2）是否存在点P，使S_△BCP=

1

4

S_△ABC？若存在，求出此时从C出发到P的时间；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先根据情况进行讨论，第一种情况：P点在AC上，那么y=

1

2

BC•x，即y=3x；第二种情况：P点在AB上，那么根据勾股定理求出AB=10，然后作出BP的高，通过求证三角形相似，求出高的值，即可推出函数式．
（2）首先求出△ABC的面积，即可确定△BCP的面积，然后根据（1）的结论，即可推出路程x的值，再根据P点的运动速度，便可求出运动时间．

解答：解：（1）①当0＜x≤8时，即当0＜P点在AC上，
∴PC=x，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，
∵△BCP的面积为ycm²，
∴y=

1

2

BC•x，
即y=3x；
②当8＜x＜18时，P点在AB上，
∵∠ACB=90°，BC=6cm，AC=8cm，
∴AB=10，
∴BP=18-x，
作CD⊥AB，
∴△ABC∽△CBD，
∴AC：CD=AB：BC，
∴CD=

24

5

，
∵△BCP的面积为ycm²，
∴y=（18-x）•

24

5

×

1

2

，
∴y=-

12

5

（18-x）；

（2）∵BC=6cm，AC=8cm，
∴△ABC的面积=24cm²，
∴△BCP的面积为：24×

1

4

=6，
①P点在AB上，
∴6=-

12

5

（18-x）
解得：x=

31

2

，
∵点P从C点出发的速度为1cm/秒，
∴

31

2

÷1=

31

2

秒，
∴从C点出发

31

2

秒钟时，△BCP的面积为△ABC的

1

4

；
②P点在AC上，
∴6=3x，
∴x=2，
∵点P从C点出发的速度为1cm/秒，
∴2cm÷1cm/秒=2秒，
∴从C点出发2秒钟时，△BCP的面积为△ABC的

1

4

，
答：从C点出发2秒或

31

2

秒钟时，△BCP的面积为△ABC的

1

4

．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、勾股定理，关键在于分情况进行讨论，求出y关于x的解析式．