题目内容
已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM且交∠CBE的平分线于N，如图．
(1)求证：MD＝MN；
(2)若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如下图，则结论“MD＝MN”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
答案：
解析：
解析：
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证明： (1)取AD的中点P，连接PM．∵四边形 ABCD是正方形，∠A＝ ，AD＝AB，
∴∠ ADM＋∠DMA＝．
又∵ MN⊥MD，∴∠DMA＋∠BMN＝，∴∠ADM＝∠BMN．
又 AP＝AM，∴∠APM＝∠AMP＝ ，∠DPM＝ ．
且 BN平分∠CBE，∴∠EBN＝，∴∠MBN＝，∴∠MBN＝∠DPM．
又 DP＝BM＝ AB，∴△DPM≌△MBN，∴DM＝MN．
(2)同上可证MD＝MN仍成立，证明过程中只是由AP＝AM可知DP＝BM，可证得△DPM≌△MBN． 分析 (1)在图中，由于M是AB的中点，若取P为AD的中点，可看到△DMP≌△MNB，从而MD＝MN．
(2)当M为AB上任意一点时，若在AD上取AP＝AM，则可以证得△DMP≌△MNB，同样可以证得MD＝MN． |
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