Question

在△ABC中，已知BC=a，CA=b，AB=c，s=

a+b+c

2

，内切圆I和BC，CA，AB分别相切于点D，E，F．求证：
（1）AF=s-a；
（2）S_△ABC=s（s-a）tan

A

2

．

Answer 1

分析：（1）由切线长定理知：AE=AF、BF=BD、CD=CE，则AF=

1

2

（AB+AC-BC），再将s的式子代入上式即可证得本题所求的结论；
（2）可连接IA、IB、IC，IF、IE、ID；在Rt△AFI中，易求得⊙I的半径为AF•tan

A

2

，即（s-a）•tan

A

2

；将△ABC分为△AIB、△AIC、△BIC三部分，分别用三角形ABC的三边长即⊙I的半径表示出它们的面积，进而由S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△CAI得出所要证的结论．

解答：证明：（1）设AE=AF=x，BF=BD=y，CD=CE=z，
得方程组

x+y=c y+z=a z+x=b

；（2分）
解得x=s-a，
所以AF=s-a；（4分）

（2）设内切圆I的半径为r，连IA，IB，IC，ID，IE，IF，
则∠AFI=90°，∠IAF=

A

2

；（6分）
r=AF•tan

A

2

=（s-a）tan

A

2

（8分）
∵S_△ABC=S_△ABI+S_△BCI+S_△CAI
=

1

2

rc+

1

2

ra+

1

2

rb
=

1

2

r（a+b+c）
=sr；（9分）
∴S_△ABC=s（s-a）tan

A

2

．（10分）

点评：此题主要考查了三角形内切圆的性质及切线长定理、三角形面积的求法等知识．