Question

在Rt△ACB中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC，AB分别交与点D，E，且∠CBD=∠A．

（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论．

（2）若AD：AO=6：5，BC=3，求BD的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切

（2）

【解析】

分析：（1）连接OD，DE，根据直角三角形两锐角的关系，等腰三角形的性质，平角的性质得出∠ODB=90°，根据切线的判定推出即可。

（2）求出AD：DE：AE=6：8：10，求出△ADE∽△ACB，推出DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10，代入求出即可。

解：（1）直线BD与⊙O的位置关系是相切，证明如下：

连接OD，DE。

∵∠C=90°，∴∠CBD+∠CDB=90°。

∵∠A=∠CBD，∴∠A+∠CDB=90°。

∵OD=OA，∴∠A=∠ADO，。

∴∠ADO+∠CDB=90°。

∴∠ODB=180°﹣90°=90°。∴OD⊥BD。

∵OD为半径，∴BD是⊙O切线。

（2）∵AD：AO=6：5，∴AD：AB=6：10。

∴由勾股定理得：AD：DE：AE=6：8：10。

∵AE是直径，∴∠ADE=∠C=90°。

∵∠CBD=∠A，∴△ADE∽△ACB。

∴DC：BC：BD=AD：DE：AE=6：8：10。

∵BC=3，∴BD=