Question

如图，已知直线y=-m（x-4）（m＞0）与x轴、y轴分别交于A、B两点，以OA为直径作半圆，圆心为C，过A作x轴的垂线AT，Ｍ是线段OB上一动点（与O点不重合），过M点作半圆的切线交直线AT于N，交AB于F，切点为P，连结CN、CM。
（1）证明：∠MCN=90°；
（2）设OM=x，AN=y，求y关于x的函数解析式；
（3）若OM=1，当m为何值时，直线AB恰好平分梯形OMNA的面积。

Answer 1

解（1）∵AT⊥AO，OM⊥AO，AO是⊙C的直径， 　　 ∴AT、OM是⊙C的切线， 又∵MN切⊙C于点P， ∴∠CMN=∠OMN，∠CNM=∠ANM， ∵OM∥AN， ∴∠ANM+∠OMN=180°， ∴∠CMN+∠CNM =∠OMN+∠ANM=（∠OMN+∠ANM ）=90°， ∴∠CMN=90°； （2）由（1）可知：∠1+∠2 = 90 °，而∠2 +∠3=90°， ∴∠1 =∠3； ∴Rt△MOC∽Rt△CAN，　　 ∴， ∵直线y=-m（x-4）交x轴于点A，交y轴于点B， ∴A（4，0）， ∴AC=CO=2， ∵OM=x，AN=y， ∵， ∴y=； （3）∵OM=1， ∴AN=y= 4， 此时S四边形ANMO=10， ∵直线AB平分梯形ANMO的面积， ∴△ANF的面积为5， 过点F作FG⊥AN于G，则FG·AN=5， ∴FG=， ∴点F的横坐标为4-=， ∵M（0，1），N（4，4）， ∴直线MN的解析式为y=x+1， ∵F点在直线MN上， ∴F点的纵坐标为y=， ∴ F（）　　 ∵点F又在直线y=-m（x-4）上 ∴=-m（-4） ∴m=。