Question

如图所示，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB于F，
①若BE+CF=7，试求线段EF的长．
②若AB=10，AC=8，求△AEF的周长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，再根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，然后求出∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，再根据等角对等边可得OE=BE，OF=CF，即可得证；
（2）先求出△AEF的周长=AB+AC，然后代入数据进行计算即可得解．

解答：（1）解：∵O是∠ABC，∠ACB平分线的交点，
∴∠OBE=∠OBC，∠OCF=∠OCB，
∵EF∥BC，
∴∠OBC=∠BOE，∠OCB=∠COF，
∴∠OBE=∠BOE，∠OCF=∠COF，
∴OE=BE，OF=CF，
∵BE+CF=7，
∴EF=OE+OF=BE+CF=7．

（2）解：△AEF的周长=AE+EF+AF=（AE+BE）+（CF+AF）=AB+AC，
∵AB=10，AC=8，
∴△AEF的周长=10+8=18．

点评：本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，主要利用了角平分线的定义，等角对等边的性质，两直线平行，内错角相等的性质，熟记各性质是解题的关键