Question

已知：关于x的方程x²+2x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若α，β是这个方程的两个实数根，求：

α

1+α

+

β

1+β

的值；
（3）根据（2）的结果你能得出什么结论？

Answer 1

分析：（1）由方程x²+2x-k=0有两个不相等的实数根，可以求出△＞0，由此可求出k的取值范围；
（2）欲求

α

1+α

+

β

1+β

的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
（3）只要满足△＞0（或用k的取值范围表示）

α

1+α

+

β

1+β

的值就为一定值．

解答：解：（1）△=4+4k，
∵方程有两个不等实根，
∴△＞0，
即4+4k＞0
∴k＞-1

（2）由根与系数关系可知α+β=-2，
αβ=-k，
∴

α

1+α

+

β

1+β

=

α(1+β)+β(1+α)

(1+α)(1+β)

=

α+β+2αβ

1+α+β+αβ

=

-2-2k

1-2-k

=2，

（3）由（1）可知，k＞-1时，

α

1+α

+

β

1+β

的值与k无关．

点评：将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．