Question

如图1，Rt△ABC两直角边的边长为AC＝1，BC＝2．

（1）如图2，⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点X，与边CB相切于点Y．请你在图2中作出并标明⊙O的圆心O；（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）

（2）P是这个Rt△ABC上和其内部的动点,以P为圆心的⊙P与Rt△ABC的两条边相切．设⊙P的面积为s，你认为能否确定s的最大值？若能，请你求出s的最大值;若不能,请你说明不能确定s的最大值的理由．

 

Answer 1

【答案】

解：(1)共2分.（标出了圆心，没有作图痕迹的评1分）看见垂足为Y（X）的一 条 垂 线 (或 者∠ABC的平分线)即评1分，

(2)①当⊙P与Rt△ABC的边 AB和BC相切时，由角平分线的性质，动点P是∠ABC的平分线BM上的点.

如图1，在∠ABC的平分线BM上任意确定点P₁  (不为∠ABC的顶点)，

∵ OX ＝BOsin∠ABM,  P₁Z＝BP₁sin∠ABM．

当 BP₁＞BO 时 ，P₁Z＞OX,即P与B的距离越大，⊙P的面积越大．

这时，BM与AC的交点P是符合题意的、BP长度最大的点. 

（3分.此处没有证明和结论不影响后续评分）

如图2，∵∠BPA＞90°，过点P作PE⊥AB，垂足为E，则E在边AB上.

∴以P为圆心、PC为半径作圆，则⊙P与边CB相切于C，与边AB相切于E，

即这时的⊙P是符合题意的圆.（4分.此处没有证明和结论不影响后续评分）

这时⊙P的面积就是S的最大值.

∵∠A＝∠A，∠BCA＝∠AEP＝90°,∴ Rt△ABC∽Rt△APE，   （5分）

∴.

∵AC＝1，BC＝2，∴AB＝.

设PC＝x，则PA＝AC－PC＝1－x,   PC＝PE，

∴，  ∴x＝ ．   （6分）

②如图3，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边AB和AC相切时，设PC＝y，则 ，

∴y= .    （7分）

③如图4，同理可得：当⊙P与Rt△ABC的边BC和AC相切时，

设PF＝z，则，  ∴z=.     （8分）

由①，②，③可知：∵  ＞2，∴ ＋2＞＋1＞3，

∵当分子、分母都为正数时，若分子相同，则分母越小，这个分数越大，

(或者:∵x= =2-4, y= = 5,

∴y-x=>0, ∴y>x. ∵z-y=>0)

∴2，  （9分，没有过程直接得出酌情扣1分）

∴ z＞y＞x.   ∴⊙P的面积S的最大值为.     （10分）

【解析】略