Question

【题目】已知：内接于，直径交边于点，．

（1）如图所示，求证：；

（2）如图所示，过点作于H，交于，交于点，连接，求证：；

（3）如图所示，在（2）的条件下，延长至点，连接、，过点作于，射线交于点，交于点，连接，，若，，求的半径．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）5

【解析】

（1）通过证明△AEC≌△BEC，得到；

（2）连接DB，AG，由（1）知CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，再根据等角的余角相等和同弧所对的圆周角相等可得到∠GBA=∠BGD，∠GAB=∠BDG，进而证明△DBG≌△AGB（AAS），即可得到GD=AB；

（3）根据AM⊥OB，结合前两问结论，易证，，再根据AAA证明△ABK∽△CBA，△CAB∽△PAC，设半径为r，则AC=AE=，由得，可求得，则，再由PN=AN=，则，由，可求得．

解：（1）证明：∵CD为直径，，

∴CD⊥AB，

∴∠AEC=∠BEC=90°，

在△AEC和△BEC中，

，

∴△AEC≌△BEC，

∴；

（2）连接DB，AG，

∵BG⊥AC，

∴∠HBA+∠HAB=90°，

由（1）知，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD，

∴∠CAB+∠ACE=90°，

∴∠HBA=∠ACE，

∴∠GBA=∠BCD=∠BGD，

又∵∠GAB=∠BDG，

∴在△DBG和△AGB中，

,

∴△DBG≌△AGB（AAS），

∴GD=AB；

（3）连接BD，过点P作PQ⊥AN的延长线于N，

∵OD是的半径，AE=BE，

∴OD⊥AB，

∵∠CFB为△CHF的外角，

∴∠CFB=∠CHF＋∠HCF=90°＋∠HCF，

∵∠CFB为△FEB的外角，

∴∠CFB=∠FEB+∠FBE=90°+∠FBE，

∴∠HCF=∠ABD，

∵∠HCF=∠ACD=∠ABD，

∴∠FBE=∠ABD，

∵∠BEF=∠BED，∠FBE=∠ABD，BE=BE，

∴△BFE≌△BDE，

∴FE=DE，

∵OF=AE，AE=BE，

∴OF=BE，

设FE=ED=a，OF=BE=b，

∴，

在Rt△OEB中，，

∴，

解得：，或（舍去），

∴，，

∴，，

∵，

∴∠KAB=∠EOB=2∠OCB=∠ACB，

而∠KBA=∠ABK，

∴△ABK∽△CBA，

∴∠KAB=∠ACB，

又∵AN=NP，

∴∠KAB=∠APN，

∴∠ACB=∠APN，

而∠CAB=∠PAC，

∴△CAB∽△PAC，

设半径为r，

则AC=AE=，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵PN=AN=，

则，，

∴，

得：，

∴．