Question

【题目】如图，已知二次函数图象的顶点在原点，直线y= x+4的图象与该二次函数的图象交于点A（m，8），直线与x轴的交点为C，与y轴的交点为B．

（1）求这个二次函数的解析式与B点坐标；
（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A，B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象的交于点D，与x轴交于点E，设线段PD长为h，点P的横坐标为t，求h与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，在线段AB上是否存在点P．使得以点P，E，B为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵点A（m，8）在直线y= x+4上，

∴ m+4=8，解得m=8，

∴A（8，8），

∵抛物线过原点，

∴可设二次函数的解析式为y=ax2（a≠0），

∵A（8，8）在y=ax2图象上，

∴8=a×82，解得a= ，

∴二次函数的解析式为y= x2，

∵直线y=x+4与y轴交于点B，

∴令x=0时可得y=4，即B（0，4）

（2）

解：∵P点在y= x+4上，且横坐标为t，

∴P（t， t+4），

又PD⊥X轴于E，

∴D（t， ），E（t，0），

∵PD=h=PE﹣DE=（ t+4）﹣ ，

∴h=﹣ + t+4，

∵P与A，B不重合且在线段上，

∴0＜t＜8，

即h与t的函数关系式为h=﹣ + t+4（0＜t＜8）

（3）

解：设E（n，0）（0＜n＜8），则P（n， n+4），且B（0，4），

∴PB= = n，PE= n+4，BE= = ，

若△PEB为等腰三角形，则有PB=PE、PB=BE或PE=BE三种情况，

① 当PB=PE时，则有 n= n+4，解得n=2 +2，此时P点坐标为（2 +2， +5）；

②当PB=BE时，则有 n= ，解得n=8（此时P与A重合，不合题意，舍去）或n=﹣8＜0舍去；

③当PE=BE时，则有 n+4= ，解得n=0（舍去）或n= ，此时P点坐标为（ ， ）；

综上可知存在满足条件的P点，其坐标为（2 +2， +5）或（ ， ）

【解析】（1）把A点坐标代入直线解析式，可求得m的值，可求得A点坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，结合直线解析式可求得B点坐标；（2）由直线和抛物线解析式可分别用t表示出P、D的坐标，则可表示出PD的长，即找到h与t的关系式，由点P在线段AB上可确定出t的取值范围；（3）可设E点坐标为（n，0），则可用n表示出P点坐标，从而可表示出PB、PE、BE的长度，当△PEB为等腰三角形时，则有PB=PE、PB=BE或PE=BE三种情况，分别可得到关于n的方程，可求得n的值，则可求得P点坐标．
【考点精析】认真审题，首先需要了解二次函数的图象(二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点)，还要掌握二次函数的性质(增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小)的相关知识才是答题的关键．